Елисеев Д.

Рассказы о математике с примерами на языках Python и C.

Версия текста 1.0. (с) 2017

Введение

Как сказал еще Галилей, “Книга природы написана на языке математики”, и с этим сложно не согласиться. Математика это универсальный язык науки, это базовые принципы, на которых построена вся Вселенная. 2+2=4 независимо от того, верим мы в это или нет, знаем мы это или нет, существуем мы вообще или нет, и это будет верно не только для нас, но и для жителя Альфы Центавра.

Из этого следует важное правило: математические законы нельзя придумать, их можно только открыть. Треугольник подчинялся теореме Пифагора еще до того, как Пифагор открыл и сформулировал известную теорему. Число Пи было вычислено в древнем Китае, но его значение было таким всегда - еще до того как появился не только Китай, но и наша планета Земля.

Именно поэтому я надеюсь, что кто-то из читателей с помощью этой книги откроет для себя в математике что-то новое. Увы, в представлении большинства, математика - это достаточно скучная наука, вероятно так ее преподают в школе. Если кто-то с помощью этой книги найдет для себя что-то новое, можно считать что время было потрачено не зря.

Эта книга не задачник, а скорее сборник рассказов о тех или иных математических вопросах. Т.к. математические примеры без цифр бессмысленны, “практическая” часть дается на языках программирования Python и Си.

Номер версии в заголовке указан неслучайно. Эта книга не закончена, и по мере появления каких-то новых интересных вопросов она будет дополняться. Желающие также могут присылать свои истории или задачи по адресу dmitryelj@gmail.com, наиболее интересные из них будут включены в текст. Обо найденных неточностях также просьба писать на этот адрес.

Книга распространяется бесплатно в электронном виде. Печатную версию желающие могут сделать себе самостоятельно. В архиве также приложены все файлы программ. Наличие новой версии можно проверить на странице http://dmitryelj.spb.ru/math.htm.

Приятного чтения.

Елисеев Дмитрий

История версий текста:

04.2017 - 1.0

1. Основы языков Python и Си

Математика немыслима без расчетов и примеров вычислений. Примеры в данной книге иллюстрируются фрагментами кода на языке Python. Этот язык удобен тем, что он очень прост и подходит для начинающих, поэтому кратко рассмотрим как им пользоваться.

Для использования языка Python нужно установить интерпретатор языка с сайта https://www.python.org/downloads/ или воспользоваться онлайн-версией, например на странице https://repl.it/languages/python3. Все примеры из книги работоспособны с любой версией языка Python, 2.7 или 3.

Для запуска программы необходимо:

- Сохранить файл в Блокноте с любым именем и расширением .py, например test1.py (удобно также создать папку в корне диска C, например C:\PythonApps).

- Открыть консоль (нажать Win+R и набрать cmd), в консоли набрать команду (без кавычек) “python путь_к_файлу.py”, например “python C:\PythonApps\test1.py”.

Как более удобный вариант, можно скачать бесплатную среду разработки PyСharm community edition, и редактировать и запускать файлы в ней. Скачать PyСharm можно со страницы https://www.jetbrains.com/pycharm/download/.

Для запуска программы на языке Си, ее сначала надо сохранить файле с расширением .c, и выполнить команду “gcc имя_файла.c”. Будет создан exe-файл, который можно запустить.

Минимальная программа на Си выглядит так:

#include <stdio.h>

int main()

{

printf("Hello world\n");

return 0;

}

Рассмотрим простые примеры использования.

Объявление и вывод переменных

Python: достаточно ввести имя и значение.

x = 3

y = 10

print("x=", x)

print(x+y)

В отличие от языка С++, тип переменной будет определен автоматически, указывать его не нужно. Кстати, его можно узнать, введя print (type(x)).

Cи: необходимо указать тип и значение переменной.

int x = 3;

int y = 10;

printf("x=%d\n", x);

printf("%d\n", x+y);

Циклы

В отличие от того же С++ или Java, циклы задаются отступами, что после других языков программирования может быть непривычным. Часть кода, находящаяся внутри цикла, будет выполнена заданное количество раз.

Python

Вывод чисел от 1 до 9:

for p in range(1,10):

print (p)

Вывод чисел от 1 до 9 с шагом 2:

for p in range(1,10,2):

print (p)

Си

Вывод чисел от 1 до 9:

      for(int i=1; i<10; i++) {

       printf("%d\n", i);

      }

Вывод чисел от 1 до 9 с шагом 2:

      for(int i=1; i<10; i+=2) {

       printf("%d\n", i);

      }

Массивы

Массив это линейный набор чисел, с которыми удобно выполнять однотипные операции, например вычисление суммы или среднего арифметического.

Python

Объявляем массив чисел:

values = [1,2,3,5,10,15,20]

Добавляем элемент в массив:

values.append(7)

Выводим массив на экран:

print(values)

Выводим элементы массива построчно:

for p in values:

print(p)

Это же можно сделать с помощью индексов (нумерация элементов массива начинается с 0):

for i in range(0,len(values)):

print (values[i])

Си: Динамические массивы поддерживаются только в C++, статические массивы создаются так:

int values[7] = { 1,2,3,5,10,15,20 };

for(int i=0; i<7; i++) {

printf("%d\n", values[i]);

}

При желании можно слегка схитрить, если максимальный размер массива заранее известен.

int values[255] = { 1,2,3,5,10,15,20 }, cnt = 7;

for(int i=0; i<cnt; i++) {

printf("%d\n", values[i]);

}

values[cnt] = 7;

cnt++;

Можно пользоваться динамическим распределением памяти, хотя это немного сложнее:

int *valuesArray = (int*)malloc(10*sizeof(int));

valuesArray[0] = 1;

valuesArray[1] = 3;

valuesArray[2] = 15;

valuesArray = (int*)realloc(valuesArray, 25*sizeof(int));

valuesArray[20] = 555;

valuesArray[21] = 777;

for(int i=0; i<25; i++) {

printf("%d\n", valuesArray[i]);

}

free(valuesArray);

Важно заметить, что неинициализированные значения массива, например valuesArray[16], будут содержать “мусор”, некие значения которые были до этого в памяти. Си достаточно низкоуровневый язык, и такие моменты нужно учитывать. Хорошим тоном является инициализация всех переменных при их описании. Вот такой код формально не содержит ошибок:

int x;

printf("x=%d\n", x);

Однако при его запуске выведется значение 4196608, или 0, или 32, результат непредсказуем. В большой программе такие ошибки может быть сложно найти, тем более что проявляться они могут не всегда.

Арифметические операции

Сложение, умножение,деление:

x1 = 3

x2 = (2*x1*x1 + 10*x1 + 7)/x1

Возведение в степень:

x3 = x1**10

print (x1,x2,x3)

Переменную также можно увеличить или уменьшить:

x1 += 1

x1 -= 10

print (x1)

Остаток от деления:

x2 = x1 % 6

print (x2)

Подсчитаем сумму элементов массива:

values = [1,2,3,5,10,15,20]

sum = 0

for p in values:

sum += p

print (sum)

Для более сложных операций необходимо подключить модуль math. Вычисление квадратного корня:

import math

print (math.sqrt(x3))

Условия задаются отступами, аналогично циклам:

print (x1)

if x1 % 2 == 0:

print("x1 четное число")

else:

print("x1 нечетное число")

Python может делать вычисления с большими числами, что достаточно удобно:

x1 = 12131231321321312312313131124141

print (10*x1)

print (math.sqrt(x1))

Можно вывести даже факториал числа 1024, что не сделает ни один калькулятор:

print(math.factorial(1024))

В Си вычисление суммы элементов массива выглядит так:

int sum = 0;

for(int i=0; i<cnt; i++) {

       sum += values[i];

      }

      printf("Sum=%d\n", sum);

Пожалуй, этого не хватит чтобы устроиться на работу программистом, но вполне достаточно для понимания большинства примеров в книге. Теперь вернемся к математике.

2. Математические фокусы

Для “разминки” рассмотрим несколько фокусов, имеющих отношение к числам. Никаких особых сложностей в них нет, но их знание поможет развеселить или удивить знакомых знанием математики.

Умножение в уме числа на 11

Рассмотрим простой пример:

26*11 = 286

Сделать это в уме просто, если взять сумму чисел и поместить в середину:

26*11 = 2 [ 2+6 ] 6

Аналогично 43*11 = 473, 71*11 = 781 и так далее.

Чуть длиннее расчет, если сумма чисел больше либо равна 10. Но и тогда все просто: в середину кладется младший разряд, а 1 уходит в старший разряд: ...